2. 考研
  3. 设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f”(x)≠0，试证： (Ⅰ)对(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]成立； (Ⅱ)。

设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f”(x)≠0，试证： (Ⅰ)对(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]成立； (Ⅱ)。

admin2016-02-27  9
问题 设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f”(x)≠0，试证：
(Ⅰ)对(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]成立；
(Ⅱ)。
选项
答案(Ⅰ)对(-1，1)内的任一x≠0，由拉格朗日中值定理知，存在θ(x)∈(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]。 因为f”(x)在(-1，1)内连续且f”(x)≠0，所以f”(x)在(-1，1)内不变号，即f’(x)单调，故θ(x)是唯一的。 (Ⅱ)由泰勒公式知，存在ξ∈(0，x)，使得 [*] 注意到当x→0时，ξ→0，所以 [*]
解析
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考研数学二

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