设A和B为可逆矩阵，为分块矩阵，则X-1_______．

admin2021-01-25 47

问题设A和B为可逆矩阵，

为分块矩阵，则X^-1_______．

选项

答案[*]

解析解设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设

其中X₁₂，X₂₁分别为m阶、n阶方阵，则有XX^-1=E_m+n，即

由分块矩阵的乘法，得
AX₂₁=E_m，AX₂₂=O， BX₁₁=O， BX₁₂=E_n因为A、B均为可逆矩阵，所以解得
X₂₁=A^-1，X₂₂=O， X₁₁=O， X₁₂=B^-1于是得

本题主要考查分块矩阵的乘法和求逆阵运算．求解本题可以类比2阶同类矩阵的求逆阵运算，例如

．一般地，利用分块矩阵乘法可以验证(设A₁，A₂，…，A_m均为可逆方阵)：

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