2. 考研
  3. 设y(x)是方程y(4)－yˊˊ=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

设y(x)是方程y(4)－yˊˊ=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2019-05-08  99
问题 设y(x)是方程y(4)－yˊˊ=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
选项
答案由泰勒公式 y(x)=y(0)+yˊ(0)x+[*]yˊˊ(0)x2+[*]yˊˊˊ(0)x3+o(x3) (x→0)． 当x→0时，y(x)与x3同阶=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)－yˊˊ=0两边积分得 ∫0xy(4)(t)dt－∫0xyˊˊ(t)dt=0， 即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，两边再积分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx． 易知，它有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx． 由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得 C1+C2=0，C1－C2=C=>[*] 因此最后得y=[[*](ex－e－x)]C，其中C为任意非零常数．
解析
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考研数学三

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