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设y(x)是方程y(4)-yˊˊ=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
设y(x)是方程y(4)-yˊˊ=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
admin
2019-05-08
60
问题
设y(x)是方程y
(4)
-yˊˊ=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
选项
答案
由泰勒公式 y(x)=y(0)+yˊ(0)x+[*]yˊˊ(0)x
2
+[*]yˊˊˊ(0)x
3
+o(x
3
) (x→0). 当x→0时,y(x)与x
3
同阶=>y(0)=0,yˊ(0)=0,yˊˊ(0)=0,yˊˊˊ(0)=C,其中C为非零常数.由这些初值条件,现将方程y
(4)
-yˊˊ=0两边积分得 ∫
0
x
y
(4)
(t)dt-∫
0
x
yˊˊ(t)dt=0, 即yˊˊˊ(x)-C-yˊ(x)=0,两边再积分得yˊˊ(x)-y(x)=Cx. 易知,它有特解y
*
=-Cx,因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
-Cx. 由初值y(0)=0,yˊ(0)=0得 C
1
+C
2
=0,C
1
-C
2
=C=>[*] 因此最后得y=[[*](e
x
-e
-x
)]C,其中C为任意非零常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/TbJ4777K
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考研数学三
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