设y(x)是方程y(4)－yˊˊ=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2019-05-08 55

问题设y(x)是方程y⁽⁴⁾－yˊˊ=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

选项

答案由泰勒公式 y(x)=y(0)+yˊ(0)x+[*]yˊˊ(0)x²+[*]yˊˊˊ(0)x³+o(x³) (x→0)．当x→0时，y(x)与x³同阶=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y⁽⁴⁾－yˊˊ=0两边积分得 ∫₀^xy⁽⁴⁾(t)dt－∫₀^xyˊˊ(t)dt=0，即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，两边再积分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx．易知，它有特解y^*=－Cx，因此它的通解是y=C₁e^x+C₂e^－x－Cx．由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得 C₁+C₂=0，C₁－C₂=C=>[*] 因此最后得y=[[*](e^x－e^－x)]C，其中C为任意非零常数．

解析

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考研数学三

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