设数列{an}满足a1=a2—1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明：在时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

admin2020-03-05 28

问题设数列{a_n}满足a₁=a₂—1，且a_n+1=a_n+a_n-1，n=2，3，…．
证明：在

时幂级数

收敛，并求其和函数与系数a_n．

选项

答案(1)显然，{a_n}是正项严格单调增加数列，且有a₃=2，a₄=a₂+a₃＜2a=2²，假设a_n＜a^n-2，则有a_n+1=a_n+a_n-1＜2a_n＜2^n-1，故由归纳法得a_n＜2^n-2．于是，所考虑的级数的通项有[*] (2)原幂级数化为[*] [*]移项后得原幂级数的和函数为[*] (3)将[*]展开为x的幂级数，有[*]而[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂级数的系数，[*]

解析

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考研数学一

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