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A是2阶矩阵，2维列向量α1，α2线性无关，Aα1=α1+α2，Aα2=4α1+α2．求A的特征值和｜A｜．
A是2阶矩阵，2维列向量α1，α2线性无关，Aα1=α1+α2，Aα2=4α1+α2．求A的特征值和｜A｜．
admin
2018-06-27
89
问题
A是2阶矩阵，2维列向量α
1
，α
2
线性无关，Aα
1
=α
1
+α
2
，Aα
2
=4α
1
+α
2
．求A的特征值和｜A｜．
选项
答案
方法一先找A的特征向量．由于α
1
，α
2
线性无关，每个2维向量都可以用它们线性表示．于是A的特征向量应是α
1
，α
2
的非零线性组合c
1
α
1
+c
2
α
2
，由于从条件看出α
1
不是特征向量，c
2
不能为0，不妨将其定为1，即设η=cα
1
+α
2
是A的特征向量，特征值为λ，则Aη=λη， Aη=A(cα
1
+α
2
)=c(α
1
+α
2
)+4α
1
+α
2
=(c+4)α
1
+(c+1)α
2
， 则 (c+4)α
1
+(c+1)α
2
=λ(cα
1
+α)， 得c+4=λc，c+1=λ．解得c=2或-2，对应的特征值λ分别为3，-1．｜A｜=-3． 方法二A(α
1
，α)=(α
1
+α
2
，4α
1
+α
2
)，用矩阵分解法，得 (α
1
+α
2
，4α
1
+α
2
)=(α
1
，α
2
)[*] 记B=[*]，则A(α
1
，α
2
)=(α
1
，α
2
)B． 由于α
1
，α
2
线性无关，(α
1
，α
2
)是可逆矩阵，于是A相似于B． A和B的特征值一样． ｜λE-B｜=[*]=(λ+1)(λ-3)． 得A的特征值为-1，3．｜A｜=-3．
解析
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考研数学二
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