设f(x)在(一∞,+∞)上存在二阶导数,f’(0)0.证明: 若f(x)恰有两个零点,则此两零点必反号.

admin2014-04-16  47

问题 设f(x)在(一∞,+∞)上存在二阶导数,f(0)<0,f(0)=a,f’’(x)>0.证明:
若f(x)恰有两个零点,则此两零点必反号.

选项

答案有两种解法. 法一 由(Ⅰ)已证,在区间(一∞,0)或(0,+∞)上有仅有一个零点,所以共有两个零点,则必反号。 法二 用反证法,设f(x)有两个零点x1与x2,它们同号,不妨没0<x1<x2;在区间x1,x2上分别用拉格朗日中值定理,有f(x1)一f(0)=f1)x1.(*)f(x2)一f(x1)=f2)(x2、x1).(**)F}j(*)式有,f1)>0.由(**)式有f1)=0,得f2)>f2)但ξ1<ξ2,f’’(x)>0矛盾,所以x1与x2必反号.

解析
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