2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)上存在二阶导数，f’(0)0．证明： 若f(x)恰有两个零点，则此两零点必反号．

设f(x)在(一∞，+∞)上存在二阶导数，f’(0)0．证明： 若f(x)恰有两个零点，则此两零点必反号．

admin2014-04-16  51
问题 设f(x)在(一∞，+∞)上存在二阶导数，f’(0)<0，f’(0)=a，f’’(x)>0．证明：
若f(x)恰有两个零点，则此两零点必反号．
选项
答案有两种解法． 法一 由(Ⅰ)已证，在区间(一∞，0)或(0，+∞)上有仅有一个零点，所以共有两个零点，则必反号。 法二 用反证法，设f(x)有两个零点x1与x2，它们同号，不妨没0＜x1＜x2；在区间x1,x2上分别用拉格朗日中值定理，有f(x1)一f(0)=f’(ξ1)x1．(*)f(x2)一f(x1)=f’(ξ2)(x2、x1)．(**)F}j(*)式有，f’(ξ1)>0．由(**)式有f’(ξ1)=0，得f’(ξ2)＞f’(ξ2)但ξ1＜ξ2，f’’(x)＞0矛盾,所以x1与x2必反号．
解析
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考研数学二

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