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设f(x)在(一∞,+∞)上存在二阶导数,f’(0)0.证明: 若f(x)恰有两个零点,则此两零点必反号.
设f(x)在(一∞,+∞)上存在二阶导数,f’(0)0.证明: 若f(x)恰有两个零点,则此两零点必反号.
admin
2014-04-16
65
问题
设f(x)在(一∞,+∞)上存在二阶导数,f
’
(0)<0,f
’
(0)=a,f
’’
(x)>0.证明:
若f(x)恰有两个零点,则此两零点必反号.
选项
答案
有两种解法. 法一 由(Ⅰ)已证,在区间(一∞,0)或(0,+∞)上有仅有一个零点,所以共有两个零点,则必反号。 法二 用反证法,设f(x)有两个零点x
1
与x
2
,它们同号,不妨没0<x
1
<x
2
;在区间x
1
,x
2
上分别用拉格朗日中值定理,有f(x
1
)一f(0)=f
’
(ξ
1
)x
1
.(*)f(x
2
)一f(x
1
)=f
’
(ξ
2
)(x
2
、x
1
).(**)F}j(*)式有,f
’
(ξ
1
)>0.由(**)式有f
’
(ξ
1
)=0,得f
’
(ξ
2
)>f
’
(ξ
2
)但ξ
1
<ξ
2
,f
’’
(x)>0矛盾,所以x
1
与x
2
必反号.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MH34777K
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考研数学二
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