2. 公务员
  3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)、B(b，0)、C(c，0)，点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a、b、c、P均为非零实数，设直线BP、CF分别与边AC、AB交于点E、F。 (1)若BE⊥AC，求证：C

如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)、B(b，0)、C(c，0)，点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a、b、c、P均为非零实数，设直线BP、CF分别与边AC、AB交于点E、F。 (1)若BE⊥AC，求证：C

admin2021-08-05  16
问题 如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)、B(b，0)、C(c，0)，点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a、b、c、P均为非零实数，设直线BP、CF分别与边AC、AB交于点E、F。
(1)若BE⊥AC，求证：CF⊥AB；
(2)若O、E分别是BC、AC的中点，求证F也是AB的中点。
选项
答案证明：(1)根据点B(b，0)和点P的坐标(0，p)写出直线BP的斜率为[*]， 由点A(0，a)和C(c，0)写出直线AC的斜率为[*]， 因为BE⊥AC，所以[*]，即pa＝－bc； 而由C(c，0)和P(0，p)确定的直线的斜率为[*]，由A(0，a)和B(b，0)确定的直线的斜率为[2*]，则斜率之积为[*]，所以CF⊥AB。 (2)因为O为线段BC的中点，且PO⊥BC，所以OP为线段BC的垂直平分线， ∴BP：CP，且AB：AC， ∴∠PB0＝∠PCO，且∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABP＝∠ACP， 又∠FPB＝∠EPC， ∴△BPF≌△CPE， ∴BF＝CE， 又E是线段AC的中点，所以CE＝[*]AC， 则BF＝[*]AB，所以F为线段AB的中点。
解析
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