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如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a、b、c、P均为非零实数,设直线BP、CF分别与边AC、AB交于点E、F。 (1)若BE⊥AC,求证:C
如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a、b、c、P均为非零实数,设直线BP、CF分别与边AC、AB交于点E、F。 (1)若BE⊥AC,求证:C
admin
2021-08-05
21
问题
如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a、b、c、P均为非零实数,设直线BP、CF分别与边AC、AB交于点E、F。
(1)若BE⊥AC,求证:CF⊥AB;
(2)若O、E分别是BC、AC的中点,求证F也是AB的中点。
选项
答案
证明:(1)根据点B(b,0)和点P的坐标(0,p)写出直线BP的斜率为[*], 由点A(0,a)和C(c,0)写出直线AC的斜率为[*], 因为BE⊥AC,所以[*],即pa=-bc; 而由C(c,0)和P(0,p)确定的直线的斜率为[*],由A(0,a)和B(b,0)确定的直线的斜率为[2*],则斜率之积为[*],所以CF⊥AB。 (2)因为O为线段BC的中点,且PO⊥BC,所以OP为线段BC的垂直平分线, ∴BP:CP,且AB:AC, ∴∠PB0=∠PCO,且∠ABC=∠ACB, ∴∠ABP=∠ACP, 又∠FPB=∠EPC, ∴△BPF≌△CPE, ∴BF=CE, 又E是线段AC的中点,所以CE=[*]AC, 则BF=[*]AB,所以F为线段AB的中点。
解析
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