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(89年)设f(x)=sinx—∫0x(x—t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
(89年)设f(x)=sinx—∫0x(x—t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
admin
2018-07-27
51
问题
(89年)设f(x)=sinx—∫
0
x
(x—t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
选项
答案
原方程可改写为 f(x)=sinx—x∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(t)dt 上式两端对x求导得 f’(x)=cosx一∫
0
x
f(t)dt—xf(x)+x(f)x=cosx—∫
0
x
f(t)dt (*) 两端再对x求导得 f"(x)=一sinx-f(x) 即 f"(x)+f(x)=一sinx 这是一个二阶线性非齐次方程,由原方程知f(0)=0,由(*)式知f’(0)=1. 特征方程为 r
2
+1=0,r=±i 齐次通解为 [*]=C
1
sinx+C
2
cosx 设非齐次方程特解为 y*=x(asinx+bcosx),代入 f"(x)+f(x)=一sinx得 [*] 则非齐次方程的通解为 y=C
1
sinx+C
2
cosx+[*] 由初始条件y(0)=0和y’(0)=1可知 [*]
解析
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0
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