设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；

admin2020-04-30 10

问题设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(-1，2，-1)^T，α₂=(0，-1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解．
求A的特征值与特征向量；

选项

答案由题设知α₁，α₂是Ax=0的两个解，所以有Aα₁=0，Aα₂=0．即Aα₁=0α₁，Aα₂=0α₂．而α₁，α₂线性无关，所以λ₁=λ₂=0是A的二重特征值，α₁，α₂为A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量．又矩阵A的各行元素之和均为3，即 [*] 由特征值与特征向量的定义，知λ₃=3是A的一个特征值，α₃=(1，1，1)^T为A的属于特征值3对应的一个特征向量．于是，A的全部特征值为λ₁=λ₂=0，λ₃=3．属于特征值0对应的全部特征向量k₁α₁+k₂α₂(k₁，k₂是不全为零的任意常数)，属于特征值3对应的全部特征向量k₃α₃(k₃是不为零的任意常数)．

解析本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题．由α₁，α₂是线性方程组Ax=0的解，知α₁，α₂是属于0的特征向量．又由A的各行元素之和为3，知(1，1，1)^T是A的属于3的特征向量．于是A的所有的特征值、特征向量均求出，从而本题就成为一个常规题了．

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考研数学一

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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；

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设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则()．

n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()．

四元齐次线性方程组的基础解系是________．

设总体X～N(0，8)，Y～N(0，22)，且X1及(Y1，Y2)分别为来自上述两个总体的样本，则～_______．

设D为两个圆x2＋y2≤1及(x一2)2＋y2≤4的公共部分，则＝______．

向量组α1=(1，0，1，2)，α2=(0，1，2，1)，α3=(-2，0，-2，-4)，α4=(0，1，0，1)，α5=(0，0，0，-1)，则向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩为________。

设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E－ααT，B=E＋ααT，且B为A的逆矩阵，则a=________．

设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______。

齐次线性方程组的系数矩阵A4×5=[β1，β2，β3，β4β5]经过初等行变换化成阶梯形矩阵为则()

16岁男性患者，双下肢浮肿伴腹水，体重60kg，尿蛋白(++++)，血清白蛋白15g/L，用泼尼松60mg/d治疗7天，病情未见好转，尿蛋白仍(++++)。此时应采取下列哪项措施

下列情况属于医院感染的是

患者男性，46岁，乙肝病史15年，超声检查示肝右叶8cm×9cm椭圆形肿块，边界较清，周边有晕，但不完整，内部回声不均，呈“块中块”表现，最可能的诊断是

中枢型SAS轻度SAS

肾岩翻花的发生与哪项因素最密切

下列药物入汤剂宜包煎的是()

交通安全的可靠性不仅与平面线形、纵坡有关，而且与()是否协调有密切的关系。

计算保守速动比率时，公式分子中不应包括()。

设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。

(2009上集管)______是国家信息化体系的六大要素。

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． 求A的特征值与特征向量；

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n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()．

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设总体X～N(0，8)，Y～N(0，22)，且X1及(Y1，Y2)分别为来自上述两个总体的样本，则～_______．

设D为两个圆x2＋y2≤1及(x一2)2＋y2≤4的公共部分，则＝______．

向量组α1=(1，0，1，2)，α2=(0，1，2，1)，α3=(-2，0，-2，-4)，α4=(0，1，0，1)，α5=(0，0，0，-1)，则向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩为________。

设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E－ααT，B=E＋ααT，且B为A的逆矩阵，则a=________．

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设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。

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