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设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
admin
2019-12-26
67
问题
设向量组α
1
,α
2
,…,α
t
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
线性无关.
选项
答案
设有一组数k,k
1
,k
2
,…,k
t
使得 [*] 把(1)式两边左乘以A,有 [*] 因为Aβ≠0,故 [*] 因而,由(1)式,得 [*] 即[*]再由于α
1
,α
2
,…,α
t
是方程组Ax=0的一个基础解系,所以该向量组α
1
,α
2
,…,α
t
线性无关,从而有k
1
=k
2
=…=k
t
=0;再由(2)可知k=0.因此,向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
线性无关.
解析
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考研数学三
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