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  3. 设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．

设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．

admin2017-06-26  67
问题 设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．
选项
答案由条件有k1α1＋k2α2＋…＋knαn＝β…①．必要性．设表示唯一，若λ1α1＋λ2α2＋…＋λnαn＝0…②，①与②两端分别相加，得 (k1＋λ1)α1＋(k2＋λ2)α2＋…＋(kn＋λn)αn＝β…③，由表示唯一，比较①与③，得kj＝kj＋λj(j＝1，2，…，n)[*]λj＝0(j＝1，2，…，n)，[*]α1，α2，…，αn线性无关．充分性：设α1，α2，…，αn线性无关，若还有s1α1＋s2α2＋…＋snαn＝β…④，①－④，得(k1－s1)α1＋(k2－s2)α2＋…＋(kn－sn)αn＝0，由α1，α2，…，αn线性无关，得kj＝sj(j＝1，2，…，n)，即④式必为①式，故表示唯一．
解析
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考研数学三

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