下列矩阵中A与B合同的是( )

admin2018-02-07 43

问题下列矩阵中A与B合同的是( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案C

解析合同的定义：C^TAC=B，矩阵C可逆。合同的必要条件是：r(A)=r(B)且行列式｜A｜与｜B｜同号。
A，B合同的充要条件是：A与B的正、负惯性指数相同；A与B的正、负特征值的个数相同。
A选项的矩阵秩不相等。
B选项中行列式正、负号不同，故排除。
C选项中矩阵A的特征值为1，2，0，而矩阵B的特征值为1，3，0，所以二次型x^TAx与x^TBx有相同的正、负惯性指数，因此A和B合同。
而D选项中，A的特征值为1，±2，B的特征值为一1，一2，一2，因此x^TAx与x^TBx正、负惯性指数不同，故不合同。
所以选C。

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