设函数f(u)具有二阶连续导数，函数z=f(exsiny)满足方程=(z+1)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求函数f(u)的表达式。

admin2018-12-29 59

问题设函数f(u)具有二阶连续导数，函数z=f(e^xsiny)满足方程

=(z+1)e^2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求函数f(u)的表达式。

选项

答案[*]=f′(u)e^xsiny，[*]=f′(u)e^xsiny+f″(u)e^2xsin²y， [*]=f′(u)e^xcosy，[*]= —f′(u)e^xsiny+f″(u)e^2xcos²y，代入[*]=(z+1)e^2x，得f″(u)—f(u)=1。此方程对应的齐次方程f″(u)—f(u)=0的通解为f(u)=C₁e^u+C₂e^—u，方程的一个特解为f(u)= —1。所以方程f″(u)—f(u)=1的通解为 f(u)=C₁e^u+C₂e^—u—1，其中C₁，C₂为任意常数。由f(0)=0，f′(0)=0得C₁=C₂=[*]，从而函数f(u)的表达式为 f(u)=[*](e^u+e^—u)—1。

解析

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