当x→0时，1－cosx．cos2x．cos3x与axn为等价无穷小量，求n与a的值。

admin2021-01-19 56

问题当x→0时，1－cosx．cos2x．cos3x与axⁿ为等价无穷小量，求n与a的值。

选项

答案方法一：由和差化积公式可得 [*] n=2时上述极限存在，故 [*] 方法二：泰勒展开式。 cosx=1－[*]x²+o(x³)，cos2x=1－[*](2x)²+o(x³)，cos3x=1－[*](3x)²+o(x³)，则原极限可化为 [*] 将分子展开，进一步整理为 [*] 则a=7，n=2。

解析

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考研数学二

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设函数f(x)(x≥0)连续可微，f(0)=1，已知曲线y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积与曲线y=f(x)在[0，x]上的弧长值相等，求f(x)．
已知四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，它的三个解向量为η1，η2，η3，且η1+2η2=(2，0，5，-1)T，η1+2η3=(4，3，-1，5)T，η3+2η1=(1，0，-1，2)T求方程组的通解。
已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x＝0的某个邻域内满足关系式f(1＋sinx)－3f(1－sinx)＝8x＋a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x＝1处可导，求曲线y＝f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．
设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．
求极限：
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