设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ).

admin2016-04-08  118

问题 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ).

选项

答案构造辅助函数F(x)=f(x)一g(x),由题设有F(A)=F(B)=0.又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在x1≤x2,x1,x2∈(a,b)使得 [*] 若x1=x2,令c=x1,则F(C)=0. 若x1<x2,因F(x1)=g(x1)一g(x1)≥0,F(x1)=f(x2)一g(x2)≤0,从而存在c∈[x1,x2]c(a,b),使F(C)=0.在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得F’(ξ)=F’(ξ)=0.再对F’(x)在区间[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理,知存在ξ∈(ξ1,ξ2)c(a,b),有F’’(ξ)=0,即f’’(ξ)=g’’(ξ).

解析
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