2. 考研
  3. (2002年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx。

(2002年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx。

admin2019-05-11  80
问题 (2002年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx。
选项
答案因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，由最值定理，知f(x)在[a，b]上有最大值M和最小值m。即m≤f(x)≤M，又g(x)＞0故 mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)。 ∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx， [*] 由介值定理知，存在ξ∈[a，b]使f(ξ)=[*]即 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx。
解析
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考研数学三

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