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设方程组(Ⅰ) 与方程组(Ⅱ)x1+2x2+x3=n-1有公共解,求a的值及所有公共解.
设方程组(Ⅰ) 与方程组(Ⅱ)x1+2x2+x3=n-1有公共解,求a的值及所有公共解.
admin
2016-10-20
38
问题
设方程组(Ⅰ)
与方程组(Ⅱ)x
1
+2x
2
+x
3
=n-1有公共解,求a的值及所有公共解.
选项
答案
1°把方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)联立,得方程组(Ⅲ) [*] 则方程组(Ⅲ)的解就是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解. 对方程组(Ⅲ)的增广矩阵作初等行变换,有 [*] 当a=1时,[*],此时方程组(Ⅲ)的通解为后(-1,0,1)
T
(k为任意常数),即为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解. 当a=2时,[*],此时方程组(Ⅲ)有唯一解(0,1,-1)
T
,这亦是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的唯一公共解. 2°先求出方程组(Ⅰ)的解,其系数行列式 [*] 当a≠1且a≠2时,齐次方程组(Ⅰ)只有零解,但零向量不是方程组(Ⅱ)的解,所以方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解只在a=1或a=2时才有可能. 当a=l时,对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 得到方程组(Ⅰ)的通解为k(-1,0,1)
T
,而此解也是方程组(Ⅱ)的解.故方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为:k(-1,0,1)
T
,k为任意常数. 当a=2时,对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 故方程组(ⅠI)的通解为k(0,-1,1)
T
,后为任意常数. 把x
1
=0,x
2
=-k,x
3
=k代入方程组(Ⅱ)解出k=-1. 因此方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为(0,1,-1)
T
.
解析
本题有两种解法:一是根据两个方程组有公共解的条件知,把这两个方程组联立后的方程组也应有解,且其解即为所求的公共解;二是把一个方程组的解代入到另一个方程组,确立它们的公共解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ggT4777K
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考研数学三
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