设方程组(Ⅰ) 与方程组(Ⅱ)x1+2x2+x3=n-1有公共解，求a的值及所有公共解．

admin2016-10-20 90

问题设方程组(Ⅰ)

与方程组(Ⅱ)x₁+2x₂+x₃=n-1有公共解，求a的值及所有公共解．

选项

答案1°把方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)联立，得方程组(Ⅲ) [*] 则方程组(Ⅲ)的解就是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．对方程组(Ⅲ)的增广矩阵作初等行变换，有 [*] 当a=1时，[*]，此时方程组(Ⅲ)的通解为后(-1，0，1)^T(k为任意常数)，即为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．当a=2时，[*]，此时方程组(Ⅲ)有唯一解(0，1，-1)^T，这亦是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的唯一公共解． 2°先求出方程组(Ⅰ)的解，其系数行列式 [*] 当a≠1且a≠2时，齐次方程组(Ⅰ)只有零解，但零向量不是方程组(Ⅱ)的解，所以方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解只在a=1或a=2时才有可能．当a=l时，对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 得到方程组(Ⅰ)的通解为k(-1，0，1) ^T，而此解也是方程组(Ⅱ)的解．故方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为：k(-1，0，1)^T，k为任意常数．当a=2时，对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 故方程组(ⅠI)的通解为k(0，-1，1)^T，后为任意常数．把x₁=0，x₂=-k，x₃=k代入方程组(Ⅱ)解出k=-1．因此方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为(0，1，-1)^T．

解析本题有两种解法：一是根据两个方程组有公共解的条件知，把这两个方程组联立后的方程组也应有解，且其解即为所求的公共解；二是把一个方程组的解代入到另一个方程组，确立它们的公共解．

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考研数学三

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