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(1999年试题,八)设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ,使f’’(ξ)=3.
(1999年试题,八)设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ,使f’’(ξ)=3.
admin
2019-06-09
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问题
(1999年试题,八)设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(一1)=0,f(1)=1,f
’
(0)=0,证明:在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ,使f
’’
(ξ)=3.
选项
答案
由题设f(x)具有三阶连续导数,且f
’
(0)=0,则由麦克劳林公式得其中η介于0与x之间,且x∈[-1,1].在上式中分别令x=一1和x=1,并由已知条件f(一1)=0,f(1)=1,f
’
(0)=0,得[*][*]两式相减,得f
’’
(η
1
)+f
’’
(η
2
)=6由已知f
’’
(x)连续,则在闭区间[η
1
,η
2
]上有最大值和最小值,设它们分别为M和m,则有[*]则由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η
1
,η
2
]c(一1,1),使[*]
解析
在泰勒展开式中一般取x
’
为一阶导数值是已知的点(例如f
’
(x
0
)=1)或隐含已知的点,比如极值点,最值点等,ξ的选取在x
0
与x之间,一般还随着x的变化而变化.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/glV4777K
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考研数学二
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