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设f(x,y)=(x一6)(y+8),求函数f(x,y)在点(x,y)处的最大的方向导数g(x,y),并求g(x,y)在区域D={(x,y)|x2+y2≤25}上的最大值与最小值.
设f(x,y)=(x一6)(y+8),求函数f(x,y)在点(x,y)处的最大的方向导数g(x,y),并求g(x,y)在区域D={(x,y)|x2+y2≤25}上的最大值与最小值.
admin
2020-11-16
44
问题
设f(x,y)=(x一6)(y+8),求函数f(x,y)在点(x,y)处的最大的方向导数g(x,y),并求g(x,y)在区域D={(x,y)|x
2
+y
2
≤25}上的最大值与最小值.
选项
答案
函数f(x,y)的梯度为gradf(x,y)={y+8,x一6}, [*] 其中e为射线对应的单位向量,θ为梯度与射线的夹角, 则[*] 令H(x,y)=(x一6)
2
+(y+8)
2
, 当x
2
+y
2
<25时,因为[*]在x
2
+y
2
<25内无解,所以H(x,y)的最大值与最小值在区域D的边界上取到. 当x
2
+y
2
=25, 令F(x,y,λ)=(x一6)
2
+(y+8)
2
+λ(x
2
+y
2
—25), 由[*]得[*]或[*] 因为H(3,一4)=25,H(一3,4)=225, 所以g(x,y)在区域D上的最大值和最小值分别为15和5.
解析
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考研数学一
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