2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=f(x)dx=f(2)．证明存在ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=f(x)dx=f(2)．证明存在ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0．

admin2020-05-16  115
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=f(x)dx=f(2)．证明存在ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0．
选项
答案由积分中值定理得[*]≤η≤1．于是f(x)在 [η，2]上满足罗尔定理，即存在ξ1∈(η，2)，故 f’(ξ1)=0．① 又f(x)在[*]上满足罗尔定理，于是存在ξ2∈[*]，使 f’(ξ2)=0． ② 由式①、式②得到f’(ξ1)=f’(ξ2)．再对f’(x)在[ξ2 ，ξ1]上使用罗尔定理，得到ξ∈(ξ2 ，ξ1)[*](0，2)，使f"(ξ)=0． 注意题设条件或待证结论中含有定积分等式时，要想到使用积分中值定理，有多个函数值相等时，要想到使用罗尔定理．
解析
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考研数学三

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