设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=f(x)dx=f(2)．证明存在ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0．

admin2020-05-16 93

问题设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=

f(x)dx=f(2)．证明存在ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0．

选项

答案由积分中值定理得[*]≤η≤1．于是f(x)在 [η，2]上满足罗尔定理，即存在ξ₁∈(η，2)，故 f’(ξ₁)=0．① 又f(x)在[*]上满足罗尔定理，于是存在ξ₂∈[*]，使 f’(ξ₂)=0． ② 由式①、式②得到f’(ξ₁)=f’(ξ₂)．再对f’(x)在[ξ₂ ，ξ₁]上使用罗尔定理，得到ξ∈(ξ₂ ，ξ₁)[*](0，2)，使f"(ξ)=0．注意题设条件或待证结论中含有定积分等式时，要想到使用积分中值定理，有多个函数值相等时，要想到使用罗尔定理．

解析

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考研数学三

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