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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=f(x)dx=f(2).证明存在ξ∈(0,2),使f"(ξ)=0.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=f(x)dx=f(2).证明存在ξ∈(0,2),使f"(ξ)=0.
admin
2020-05-16
64
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=
f(x)dx=f(2).证明存在ξ∈(0,2),使f"(ξ)=0.
选项
答案
由积分中值定理得[*]≤η≤1.于是f(x)在 [η,2]上满足罗尔定理,即存在ξ
1
∈(η,2),故 f’(ξ
1
)=0.① 又f(x)在[*]上满足罗尔定理,于是存在ξ
2
∈[*],使 f’(ξ
2
)=0. ② 由式①、式②得到f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
).再对f’(x)在[ξ
2
,ξ
1
]上使用罗尔定理,得到ξ∈(ξ
2
,ξ
1
)[*](0,2),使f"(ξ)=0. 注意题设条件或待证结论中含有定积分等式时,要想到使用积分中值定理,有多个函数值相等时,要想到使用罗尔定理.
解析
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考研数学三
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