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  3. [2005年] 以下四个命题中正确的是( )．

[2005年] 以下四个命题中正确的是( )．

admin2019-03-30  127
问题 [2005年]  以下四个命题中正确的是(    )．
选项 A、若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界
B、若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界
C、若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界
D、若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界
答案C
解析 解一  一般地，若f(x)在(a，b)内连续，且存在，则f(x)在(a，b)内有界．(B)中不知是否存在，f(x)在(0，1)内不一定有界．例如f(x)=lnx，它在(0，1)内连续，但在(0，1)内无界．(B)不正确．
    另外，若f’(x)在(a，b)内有界，则f(x)在(a，b)内有界，(C)正确．但当f(x)在(a，b)内有界时，f’(x)在(a，b)内不一定有解．(D)不正确．例如在(0，1)内有界，但在(0，1)无界．因f’(x)在(0，1)内连续，但极限不一定存在．故f’(x)在(0，1)内不一定有界，因而f(x)在(0，1)内不一定有界，例如f(x)=lnx，在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界．(A)不对．仅(C)入选．
    解二  任取x0，x∈(0，1)，由题设f(x)在[x0，x](或[x，x0])上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有f(x)－f(x0)=f’(ξ)(x-x0)．
    因f’(x)在(0，1)内有界，则存在M>0，使对于任意x∈(0，1)，有|f’(x)|≤M．
    因x，x0∈(0，1)，|x－x0|≤1，故由f(x)=f(x)+f’(ξ)(x—x0)得到
            |f(x)|≤|f(x0)|+|f’(ξ)(x－x0)|≤|f(x0)|+|f’(ξ)|≤|f(x0)|+M．
由上式知f(x)在(0，1)内有界．仅(C)正确．
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考研数学三

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