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[2005年] 以下四个命题中正确的是( ).
[2005年] 以下四个命题中正确的是( ).
admin
2019-03-30
97
问题
[2005年] 以下四个命题中正确的是( ).
选项
A、若f’(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界
B、若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界
C、若f’(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界
D、若f(x)在(0,1)内有界,则f’(x)在(0,1)内有界
答案
C
解析
解一 一般地,若f(x)在(a,b)内连续,且
存在,则f(x)在(a,b)内有界.(B)中不知
是否存在,f(x)在(0,1)内不一定有界.例如f(x)=lnx,它在(0,1)内连续,但在(0,1)内无界.(B)不正确.
另外,若f’(x)在(a,b)内有界,则f(x)在(a,b)内有界,(C)正确.但当f(x)在(a,b)内有界时,f’(x)在(a,b)内不一定有解.(D)不正确.例如
在(0,1)内有界,但
在(0,1)无界.因f’(x)在(0,1)内连续,但极限
不一定存在.故f’(x)在(0,1)内不一定有界,因而f(x)在(0,1)内不一定有界,例如f(x)=lnx,
在(0,1)内连续,但f(x)在(0,1)内无界.(A)不对.仅(C)入选.
解二 任取x
0
,x∈(0,1),由题设f(x)在[x
0
,x](或[x,x
0
])上满足拉格朗日中值定理的条件,于是有f(x)-f(x
0
)=f’(ξ)(x-x
0
).
因f’(x)在(0,1)内有界,则存在M>0,使对于任意x∈(0,1),有|f’(x)|≤M.
因x,x
0
∈(0,1),|x-x
0
|≤1,故由f(x)=f(x)+f’(ξ)(x—x
0
)得到
|f(x)|≤|f(x
0
)|+|f’(ξ)(x-x
0
)|≤|f(x
0
)|+|f’(ξ)|≤|f(x
0
)|+M.
由上式知f(x)在(0,1)内有界.仅(C)正确.
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考研数学三
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