假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min(X,2)的分布函数( ).

admin2019-05-08  35

问题 假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min(X,2)的分布函数(    ).

选项 A、是连续函数
B、至少有两个间断点
C、是阶梯函数
D、恰好有一个间断点

答案D

解析 解一  首先由分布函数的定义求出分布函数FY(y),然后判断.
            FY(y)=P(Y≤y)=P(min(X,2)≤y)=1-P(min(X,2)>y)=1-P(X>y,2>y).
    当y<2时,
            
    当y≥2时,P(X>y,2>y)=P(X>Y,)=P()=0,因而
                  FY(y)=1-P(X>y,2>y)=1-0=1.
    又y≤0时,FY(y)=0,故
    可见,FY(y)在y=2处有一个间断点.仅(D)入选.
    解二  设X的概率密度、分布函数分别为f(x),F(x),则
         
    因当x<2时,Y=X,而X服从指数分布,其分布函数为
            
    而当y≥2时,由式③知,事件(Y≤y)为必然事件,故FY(y)=P(Y≤y)=P(Ω)=1.因而
           
    因故FY(y)在y=0处连续,但因而FY(y)在y=2处不连续.于是仅(D)入选.
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