2. 考研
  3. 假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min(X，2)的分布函数( )．

假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min(X，2)的分布函数( )．

admin2019-05-08  36
问题 假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min(X，2)的分布函数(    )．
选项 A、是连续函数
B、至少有两个间断点
C、是阶梯函数
D、恰好有一个间断点
答案D
解析 解一  首先由分布函数的定义求出分布函数FY(y)，然后判断．
            FY(y)=P(Y≤y)=P(min(X，2)≤y)=1－P(min(X，2)＞y)=1－P(X＞y，2＞y)．
    当y＜2时，
            
    当y≥2时，P(X＞y，2＞y)=P(X>Y，)=P()=0，因而
                  FY(y)=1－P(X＞y，2＞y)=1－0=1．
    又y≤0时，FY(y)=0，故
    可见，FY(y)在y=2处有一个间断点．仅(D)入选．
    解二  设X的概率密度、分布函数分别为f(x)，F(x)，则
         
    因当x＜2时，Y=X，而X服从指数分布，其分布函数为
            
    而当y≥2时，由式③知，事件(Y≤y)为必然事件，故FY(y)=P(Y≤y)=P(Ω)=1．因而
           
    因故FY(y)在y=0处连续，但因而FY(y)在y=2处不连续．于是仅(D)入选．
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考研数学三

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