(1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )

admin2018-03-11  30

问题 (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是(    )

选项 A、3
B、2
C、1
D、0

答案B

解析 方法一:当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“端点”,因为这时的函数是分段函数。f(x)=(x2一x一2)|x||x2一1|,当x≠0,±1时f(x)可导,因而只需在x=0,±1处考虑f(x)是否可导。在这些点我们分别考虑其左、右导数。由
   
即f(x)在x=一1处可导。又
   
所以f(x)在x=0处不可导。
    类似,函数f(x)在x=1处亦不可导。因此f(x)只有两个不可导点,故应选B。
    方法二:利用下列结论进行判断:
    设函数f(x)=|x一a|φ(x),其中φ(x)在x=a处连续,则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0。
    先证明该结论:
    由导数的定义可知:其中
   
    可见,f′(a)存在的充要条件是φ(a)=一φ(a),也即φ(a)=0。
    再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点:
    首先,绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点,也就是说f(x)=(x2一x一2)|x3一x|只有可能在使得|x3一x|=0的点处不可导,也即x=一1,x=0以及x=1。
    接下来再依次对这三个点检验上述结论:
    对x=一1,将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一x||x+1|,由于(x2一x-2)|x2一x|在x
=一1处为零,可知f(x)在x=一1处可导。
    对x=0,将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一1||x|,由于(x2一x一2)|x2一1|在x=0处不为零,可知f(x)在x=0处不可导。
    对x=1,将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2+x||x+1|,由于(x2一x一2)|x2+x|在x=1处不为零,可知f(x)在x=1处不可导。
    因此f(x)有两个不可导点,故应选B。
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