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(2017年)设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,证明: (I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根; (11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根。
(2017年)设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,证明: (I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根; (11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根。
admin
2018-03-11
91
问题
(2017年)设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,
证明:
(I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根;
(11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]
2
=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根。
选项
答案
(I)由于[*]则由函数极限的局部保号性可知,存在一个δ>0,使得当x∈(0,δ)时,[*] 又由于f(1)>0,所以由零点定理可知,方程f(x)=0在(0,1)内至少有一个实根。 (Ⅱ)令F(x)=f(x)f′(x),则F′(x)=f(x)f’’(x)+[f′(x)]
2
。 [*] 又由(I)可知:至少存在一点x
0
∈(0,1),使得f(x
0
)=0。 由罗尔定理可知:至少存在一点ξ
1
∈(0,x
0
),使得f′(ξ
1
)=0,从而F(0)=F(ξ
1
)=F(x
0
)=0。 再由罗尔定理可知:至少存在一点ξ
2
∈(0,ξ
1
)和ξ
3
∈(ξ
1
,x
0
),使得F′(ξ
2
)=F′(ξ
3
)=0。 故方程f(x)=f(x)f"(x)+[f′(x)]
2
=0在(0,x
0
)[*](0,1)内至少存在两个不同的实根。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vqr4777K
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考研数学一
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