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(2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。
(2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。
admin
2018-03-11
47
问题
(2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，
证明：
(I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]
2
=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。
选项
答案
(I)由于[*]则由函数极限的局部保号性可知，存在一个δ＞0，使得当x∈(0，δ)时，[*] 又由于f(1)＞0，所以由零点定理可知，方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根。 (Ⅱ)令F(x)=f(x)f′(x)，则F′(x)=f(x)f’’(x)+[f′(x)]
2
。 [*] 又由(I)可知：至少存在一点x
0
∈(0，1)，使得f(x
0
)=0。 由罗尔定理可知：至少存在一点ξ
1
∈(0，x
0
)，使得f′(ξ
1
)=0，从而F(0)=F(ξ
1
)=F(x
0
)=0。 再由罗尔定理可知：至少存在一点ξ
2
∈(0，ξ
1
)和ξ
3
∈(ξ
1
，x
0
)，使得F′(ξ
2
)=F′(ξ
3
)=0。 故方程f(x)=f(x)f"(x)+[f′(x)]
2
=0在(0，x
0
)[*](0，1)内至少存在两个不同的实根。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vqr4777K
0
考研数学一
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