2. 考研
  3. (2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。

(2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。

admin2018-03-11  25
问题 (2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，证明：
    (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
    (11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。
选项
答案(I)由于[*]则由函数极限的局部保号性可知，存在一个δ＞0，使得当x∈(0，δ)时，[*] 又由于f(1)＞0，所以由零点定理可知，方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根。 (Ⅱ)令F(x)=f(x)f′(x)，则F′(x)=f(x)f’’(x)+[f′(x)]2。 [*] 又由(I)可知：至少存在一点x0∈(0，1)，使得f(x0)=0。 由罗尔定理可知：至少存在一点ξ1∈(0，x0)，使得f′(ξ1)=0，从而F(0)=F(ξ1)=F(x0)=0。 再由罗尔定理可知：至少存在一点ξ2∈(0，ξ1)和ξ3∈(ξ1，x0)，使得F′(ξ2)=F′(ξ3)=0。 故方程f(x)=f(x)f"(x)+[f′(x)]2=0在(0，x0)[*](0，1)内至少存在两个不同的实根。
解析
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考研数学一

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