(2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。

admin2018-03-11 104

问题 (2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，

证明：
(I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]₂=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。

选项

答案(I)由于[*]则由函数极限的局部保号性可知，存在一个δ＞0，使得当x∈(0，δ)时，[*] 又由于f(1)＞0，所以由零点定理可知，方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根。 (Ⅱ)令F(x)=f(x)f′(x)，则F′(x)=f(x)f’’(x)+[f′(x)]²。 [*] 又由(I)可知：至少存在一点x₀∈(0，1)，使得f(x₀)=0。由罗尔定理可知：至少存在一点ξ₁∈(0，x₀)，使得f′(ξ₁)=0，从而F(0)=F(ξ₁)=F(x₀)=0。再由罗尔定理可知：至少存在一点ξ₂∈(0，ξ₁)和ξ₃∈(ξ₁，x₀)，使得F′(ξ₂)=F′(ξ₃)=0。故方程f(x)=f(x)f"(x)+[f′(x)]²=0在(0，x₀)[*](0，1)内至少存在两个不同的实根。

解析

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考研数学一

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(2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (11)方程f(x)f(x)+[f′(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。

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