设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)将β1，β2，β3由α1，α2，α3线性表示

admin2017-01-14 53

问题设向量组α₁=(1，0，1)^T，α₂=(0，1，1)^T，α₃=(1，3，5)^T不能由向量组β₁=(1，1，1)^T，β₂=(1，2，3)^T，β₃=(3，4，a)^T线性表示。
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)将β₁，β₂，β₃由α₁，α₂，α₃线性表示。

选项

答案(Ⅰ)由于α₁，α₂，α₃不能由β₁，β₂，β₃表示，且由｜α₁，α₂，α₃｜=1≠0，知α₁，α₂，α₃线性无关，所以，β₁，β₂，β₃线性相关，即｜β₁，β₂，β₃｜=[*]=a-5=0，解得a=5。 (Ⅱ)本题等价于求三阶矩阵C，使得(β₁，β₂，β₃)=(α₁，α₂，α₃)C。所以C=(α₁，α₂，α₃)^-1(β₁，β₂，β₃)= [*] 因此(β₁，β₂，β₃)=(α₁，α₂，α₃)[*]

解析

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考研数学一

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设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)将β1，β2，β3由α1，α2，α3线性表示

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