已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且求函数项级数的和函数.

admin2019-07-19  51

问题 已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且求函数项级数的和函数.

选项

答案由题设条件知,函数fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 fn’(x)-fn(x)=xn-1ex, 其通解为 [*] 由条件 [*] 记 [*] 容易求出其收敛域为[-1,1),且S(0)=0,当x∈(-1,1)时,求导得 [*] 于是得S(x)=S(0)+∫0xS’(t)dt=[*]=-ln(1-x) 由S(x)=-1n(1-x)在x=-1处的连续性知,上述和函数在x=-1处也成立.于是,当-1≤x<1时,有 [*]fn(x)=exS(x)=-exln(1-x).

解析
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