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已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且求函数项级数的和函数.
已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且求函数项级数的和函数.
admin
2019-07-19
96
问题
已知f
n
(x)满足f
n
’(x)=f
n
(x)+x
n-1
e
x
(n为正整数),且
求函数项级数
的和函数.
选项
答案
由题设条件知,函数f
n
(x)满足一阶线性非齐次微分方程 f
n
’(x)-f
n
(x)=x
n-1
e
x
, 其通解为 [*] 由条件 [*] 记 [*] 容易求出其收敛域为[-1,1),且S(0)=0,当x∈(-1,1)时,求导得 [*] 于是得S(x)=S(0)+∫
0
x
S’(t)dt=[*]=-ln(1-x) 由S(x)=-1n(1-x)在x=-1处的连续性知,上述和函数在x=-1处也成立.于是,当-1≤x<1时,有 [*]f
n
(x)=e
x
S(x)=-e
x
ln(1-x).
解析
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考研数学一
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