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  3. 已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)，且求函数项级数的和函数．

已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)，且求函数项级数的和函数．

admin2019-07-19  69
问题 已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)，且求函数项级数的和函数．
选项
答案由题设条件知，函数fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 fn’(x)－fn(x)=xn－1ex， 其通解为 [*] 由条件 [*] 记 [*] 容易求出其收敛域为[－1，1)，且S(0)=0，当x∈(－1，1)时，求导得 [*] 于是得S(x)=S(0)+∫0xS’(t)dt=[*]=－ln(1－x) 由S(x)=－1n(1－x)在x=－1处的连续性知，上述和函数在x=－1处也成立．于是，当－1≤x＜1时，有 [*]fn(x)=exS(x)=－exln(1－x)．
解析
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考研数学一

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