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(1)求定积分an=∫02x(2x-x2)ndx,n=1,2,…; (2)对于(1)中的an,证明an+1
(1)求定积分an=∫02x(2x-x2)ndx,n=1,2,…; (2)对于(1)中的an,证明an+1
admin
2018-07-23
46
问题
(1)求定积分a
n
=∫
0
2
x(2x-x
2
)
n
dx,n=1,2,…;
(2)对于(1)中的a
n
,证明a
n+1
n,t(n=1,2,…)且
.
选项
答案
(1)当n≥2时,计算a
n
=∫
0
2
x(2x-x
2
)
n
dx=∫
0
2
x[1-(1-x)
2
]
n
dx, 作积分变量代换,令1-x=t,于是 a
n
=∫
1
-1
(1-t)(1-t
2
)
n
(-dt)=∫
-1
1
(1-t
2
)
n
dt-∫
-1
1
t(1-t
2
)
n
dt =∫
-1
1
(1-t
2
)
n
dt =2∫
0
1
(1-t
2
)
n
dt. 下面用分部积分计算: [*] 所以 [*] 由此迭代式得 [*] (2) 由a
n
的迭代式显然有0<a
n
<a
n-1
(n=2,3,…).又 [*]
解析
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考研数学二
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