2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可导，f’(a)f’(b)＜0．下述命题： ①至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(a)； ②至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(x)； ③至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=0； ④至少存在一点x0∈(a，

设f(x)在[a，b]上可导，f’(a)f’(b)＜0．下述命题： ①至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(a)； ②至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(x)； ③至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=0； ④至少存在一点x0∈(a，

admin2019-02-23  17
问题 设f(x)在[a，b]上可导，f’(a)f’(b)＜0．下述命题：
①至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(a)；
②至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(x)；
③至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=0；
④至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=[f(a)+f(b)]．
正确的个数为    (   
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案A
解析 只有③是正确的．其证明如下：设f’(a)＜0，f’(b)＞0．
由

以及保号性，则存在点x1∈(a，b)使f(x1)－f(a)＜0及x2∈(a，b)使f(x2)－f(b)＜0．因此f(a)与f(b)都不是f(x)在[a，b]上的最小值，从而f(x)在[a，b]上的最小值必在(a，b)内部，故知存在x0∈(a，b)使f’(x0)=0．若f’(a)＞0，f’(b)＜0，其证明类似．
    ①，②与④的反例：f(x)=x2－x，当x∈[0，1]时，有f’(0)=－1，f’(1)=1，f’(0)f’(1)＜0．但当x∈(0，1)时，f(x)＜f(0)=f(1)=0．
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考研数学一

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