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设总体X服从对数正态分布,其概率密度为 其中μ为未知参数,且X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个简单随机样本. (Ⅰ)求参数μ的最大似然估计量; (Ⅱ)验证是μ的无偏估计量.
设总体X服从对数正态分布,其概率密度为 其中μ为未知参数,且X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个简单随机样本. (Ⅰ)求参数μ的最大似然估计量; (Ⅱ)验证是μ的无偏估计量.
admin
2017-11-23
56
问题
设总体X服从对数正态分布,其概率密度为
其中μ为未知参数,且X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的一个简单随机样本.
(Ⅰ)求参数μ的最大似然估计量
;
(Ⅱ)验证
是μ的无偏估计量.
选项
答案
(Ⅰ)记样本的似然函数为L(μ),对于总体X的样本值x
1
,x
2
,…,x
n
,其似然函数 L(μ)=L(x
1
,x
2
,…,x
n
;μ)= [*] 当x
i
>0时(i=1,2,…,n),对L(μ)取对数并对μ求导数,得 [*] 令(1nL)’=0,得驻点 [*] 不难验证μ就是L(μ)的最大值点,因此μ的最大似然估计量为 [*] (Ⅱ)首先求lnX的分布. [*] 由于被积函数F(s)恰是正态分布N(μ,1)的密度,因此随机变量lnX服从正态分布N(μ,1),即 [*]
解析
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考研数学一
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