2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)＝．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)＝．

admin2018-01-23  25
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)＝．
选项
答案令φ(x)＝(x－1)2f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)＝f(1)＝0，根据 罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)＝0，再由φ(c)＝φ(1)＝0，根据罗尔定理，存在 ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝2(x－1)f’(x)＋(x－1)2f’’(x)，所以 2(ξ－1)f’(ξ)＋(ξ－1)2f’’(ξ)＝0，整理得f’’(ξ)＝[*]．
解析
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考研数学三

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