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  3. 已知三元二次型XTAX经正交变换化为，又知矩阵B满足矩阵方程 其中α=[1，1，-1]T，A*为A的伴随矩阵，求二次型XTBX的表达式．

已知三元二次型XTAX经正交变换化为，又知矩阵B满足矩阵方程 其中α=[1，1，-1]T，A*为A的伴随矩阵，求二次型XTBX的表达式．

admin2016-07-22  51
问题 已知三元二次型XTAX经正交变换化为，又知矩阵B满足矩阵方程

其中α=[1，1，-1]T，A*为A的伴随矩阵，求二次型XTBX的表达式．
选项
答案由条件知A的特征值为2，-1，-1，则｜A｜=2，因为A*的特征值为[*]，所以A*的特征值为1，-2，-2，由已知，α是A*关于λ=1的特征向量，也就是a是A关于λ=2的特征向量． 由[*]得2ABA-1=2AB+4E[*]B=2(E-A)-1，则B的特征值为-2，1，1，且．Bα=-2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x1，x2，x3]T，又B是实对称阵，α与β正交，故x1+x2-x3=0，解出β1=[1，-1，0]T，β2=[1，0，1]T，令 [*]
解析
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考研数学一

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