2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2，α1=（1，—1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3 +E，其中E为三阶单位矩阵。 （Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B。

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2，α1=（1，—1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3 +E，其中E为三阶单位矩阵。 （Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B。

admin2017-01-21  51
问题 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2，α1=（1，—1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3 +E，其中E为三阶单位矩阵。
（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵B。
选项
答案（Ⅰ）由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故 Bα1=（A5—4A3+E）α1=A5α1一4A3α1+α1=—2α1， 即α1是矩阵B的属于特征值—2的特征向量。 由关系式B=A5—4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2得B的三个特征值为μ1=—2，μ3=1，μ3=1。 设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。 因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 [*] 得其基础解系为 [*] B的全部特征向量为 [*] 其中k1≠0，k2，k3不同时为零。 （Ⅱ）令P=（α1，α2，α3） [*]
解析
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考研数学三

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