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设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0. 证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ); (2)在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得f"(η)=f(η)
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0. 证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ); (2)在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得f"(η)=f(η)
admin
2018-09-20
72
问题
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0.
证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
(2)在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得f"(η)=f(η).
选项
答案
(1)由积分中值定理知,至少存在一点c∈(a,b),使得 [*] 设G(x)=e
-x
f(x),则G(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且G(a)=G(b)=G(c)=0, G’(x)=e
-x
f’(x)一e
-x
f(x)=e
-x
[f’(x)一f(x)].由罗尔定理知,分别存在ξ
1
∈(a,c)和ξ
2
∈(c,b), 使得G’(ξ
1
)=G’(ξ
2
)=0,从而f’(ξ
1
)=f(ξ
1
),f’(ξ
2
)=f(ξ
2
). (2)设F(x)=e
x
[f’(x)一f(x)],则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0, 则 F’(x)=e
x
[f"(x)一f’(x)]+e
x
[f’(x)一f(x)]=e
x
[f"(x)一f(x)]. 对F(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,即存在η∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得F’(η)=0,故有 f”(η)=f(η),且η≠ξ
i
(i=1,2).
解析
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