求f(x，y，z)=x+y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．

admin2020-01-15 39

问题求f(x，y，z)=x+y—z²+5在区域Ω：x²+y²+z²≤2上的最大值与最小值．

选项

答案f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．由[*]=1 =>f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x²+y²+z²=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x²+y²+z²一2=0下的最大、最小值，令F(x，y，z，λ)=x+y—z²+5+λ(x²+y²+z²一2)，解方程组 [*] 由①，②=>x=y，由③=>z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④=>x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，得x=y=[*] 代入④得[*]．因此得驻点P₁(-1，-1，0)，P₂(1，1，0)， [*] 计算得知f(P₁)=3，f(P₂)=7，f(P₃)=f(P₄)=[*]．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为7，最小值为[*]．

解析

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考研数学一

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