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  3. 求f(x，y，z)=x+y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．

求f(x，y，z)=x+y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．

admin2020-01-15  50
问题 求f(x，y，z)=x+y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．
选项
答案f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值． 第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点． 由[*]=1 =>f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到． 第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2一2=0下的最大、最小值，令F(x，y，z，λ)=x+y—z2+5+λ(x2+y2+z2一2)，解方程组 [*] 由①，②=>x=y，由③=>z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④=>x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，得x=y=[*] 代入④得[*]．因此得驻点P1(-1，-1，0)，P2(1，1，0)， [*] 计算得知f(P1)=3，f(P2)=7，f(P3)=f(P4)=[*]． 因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为7，最小值为[*]．
解析
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考研数学一

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