求f(x,y,z)=x+y—z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.

admin2020-01-15  18

问题 求f(x,y,z)=x+y—z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.

选项

答案f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续,一定存在最大、最小值. 第一步,先求f(x,y,z)在Ω内的驻点. 由[*]=1 =>f(x,y,z)在Ω内无驻点,因此f(x,y,z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到. 第二步,求f(x,y,z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值,即求f(x,y,z)在条件x2+y2+z2一2=0下的最大、最小值,令F(x,y,z,λ)=x+y—z2+5+λ(x2+y2+z2一2),解方程组 [*] 由①,②=>x=y,由③=>z=0或λ=1.由x=y,z=0代入④=>x=y=±1,z=0.当λ=1时由①,②,得x=y=[*] 代入④得[*].因此得驻点P1(-1,-1,0),P2(1,1,0), [*] 计算得知f(P1)=3,f(P2)=7,f(P3)=f(P4)=[*]. 因此,f(x,y,z)在Ω的最大值为7,最小值为[*].

解析
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