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设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3。证明:存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3。证明:存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。
admin
2018-04-14
44
问题
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3。证明:存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得f’(ξ)+f’(η)=ξ
2
+η
2
。
选项
答案
令F(x)=f(x)=[*]x
3
,则F(1)=F(0)=0。 在区间[0,1/2]和[1/2,1]上分别应用拉格朗日中值定理,可得到 F(1/2)-F(0)=F’(ξ)([*]-0)=1/2[f’(ξ)-ξ
2
],ξ∈(0,1/2), F(1)-F(1/2)=F’(η)(1-[*])=1/2[f’(η)-η
2
],η∈(1/2,1), 上面两个等式相加 F(1)-F(0)=1/2[f’(ξ)-ξ
2
]+1/2[f’(η)-η
2
]=0, 即有 f’(ξ)+f’(η)=ξ
2
+η
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hRk4777K
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考研数学二
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