设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ (k＞1)，证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．

admin2018-06-12 58

问题设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
f(1)＝k

χ^1－χf(χ)dχ (k＞1)，
证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ^－1)f(ξ)．

选项

答案令φ(χ)＝χe^1－χf(χ)，于是，φ(χ)在[0，1]上可导，且 φ′(χ)＝e^1－χ[f(χ)－χf(χ)＋χf′(χ)]＝χe^1－χ[f′(χ)－(1－χ^-1)f(χ)]，[*]χ∈(0，1)．又由题设和积分中值定理知，存在η∈[0，[*]]，使得 φ(1)＝f(1)＝k[*]φ(χ)dχ＝φ(η)，从而函数φ(χ)在[η，1]上满足罗尔定理的全部条件，所以[*]ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得 φ′(ξ)＝ξe^1－ξ[f′(ξ)－(1－ξ^－1)f(ξ)]＝0，即f′(ξ)＝(1－ξ^-1)f(ξ)．

解析

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考研数学一

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设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ (k＞1)，证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．

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已知A＝，求可逆矩阵P，使P-1AP＝A．

已知n元齐次线性方程组A1χ＝0的解全是A2χ＝0的解，证明A2的行向量可以由A1的行向量线性表示．

设a1，a2，…，an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示．

函数u＝在点M0(1，1，1)处沿曲面2z＝χ2＋y2在点M0处外法线方向n的方向导数＝________．

在区间(－1，1)上任意投一质点，以X表示该质点的坐标．设该质点落在(－1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则

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设随机变量Xi～B(i，0．1)，i＝1，2，…，15，且X1，X2，…，X15相互独立，根据切比雪夫不等式，则P的值

设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f’’(x)＜0．试证：若x1，x2，…，xn∈(a，b)，且xi＜xi+1(i=1，2，…，，n-1)，则其中常数ki＞0(i=1，2，…，n)且

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货币市场基金同时以股票、债券为主要投资对象，通过不同资产类别的配置投资，实现风险和收益上的平衡。()

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