设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明

admin2016-05-09 24

问题设A为n阶矩阵(n≥2)，A^*为A的伴随矩阵，证明

选项

答案(1)当r(A)＝n时，｜A｜≠0，则有｜A^*｜＝｜A｜^n-1≠0．从而A^*可逆，即r(A^*)＝n． (2)当r(A)＝n－1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n－1阶子式不为零，即A^*中至少有一个元素不为零，故r(A^*)≥1．又因r(A)＝n－1时，有｜A｜＝0，且由AA^*＝｜A｜E知， AA^*＝0．因此根据矩阵秩的性质得 r(A)＋r(A^*)≤n，把r(A)＝n－1代入上式，得r(A^*)≤1．综上所述，有r(A^*)＝1． (3)当r(A)≤n－2时，A的所有n－1阶子式都为零，也就是A^*的任一元素均为零，即A^*＝0，从而r(A^*)＝0．

解析

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