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  3. 设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明

设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明

admin2016-05-09  27
问题 设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明
选项
答案(1)当r(A)＝n时，｜A｜≠0，则有 ｜A*｜＝｜A｜n-1≠0． 从而A*可逆，即r(A*)＝n． (2)当r(A)＝n－1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n－1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A*)≥1． 又因r(A)＝n－1时，有｜A｜＝0，且由AA*＝｜A｜E知， AA*＝0． 因此根据矩阵秩的性质得 r(A)＋r(A*)≤n， 把r(A)＝n－1代入上式，得r(A*)≤1． 综上所述，有r(A*)＝1． (3)当r(A)≤n－2时，A的所有n－1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*＝0，从而r(A*)＝0．
解析
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考研数学一

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