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  3. 求下列微分方程的通解： (Ⅰ) y″－3y′=2－6x； (Ⅱ) y″+y=cosxcos2x．

求下列微分方程的通解： (Ⅰ) y″－3y′=2－6x； (Ⅱ) y″+y=cosxcos2x．

admin2016-10-26  57
问题 求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)  y″－3y′=2－6x；
(Ⅱ)  y″+y=cosxcos2x．
选项
答案(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ2－3λ=λ(λ－3)=0，所以通解为 [*](x)=C1+C2e3x． 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形式y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 [y*(x)]″－3[y*(x)]′=2A－3(2Ax+B)=－6Ax+2A－3B=2－6x． 比较方程两端的系数，得[*]，解得A=1，B=0，即特解为y*(x)=x2．从而，原方程的通解为 y(x)=x2+C1+C2e3x，其中C1，C2为任意常数． (Ⅱ)由于cosxcos2x=[*](cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y″+y= [*]cosx与y″+y=[*]cos3x的特解y1*(x)与y2*(x)，相加就是原方程的特解． 由于相应齐次方程的特征方程为λ2+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C1cosx+C2sinx；同时y″+y=[*]cosx的特解应具形式：y1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=[*]．即y1*(x)=[*]sinx． 另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=[*]，D=0．这样，即得所解方程的通解为 y(x)=[*]cos3x+C1cosx+C2sinx，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学一

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