有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) (1)根

admin2017-04-24 53

问题有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm³／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)

(1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
(2)求曲线x=φ(y)的方程．

选项

答案(1)设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面面积为 πφ²(y)=4π+πt 从而 t=φ²(y)一4 (2)液面高度为y时，液体的体积为 π∫₀^yφ²(u) du=3t=3φ²(y)一12 上式两边对y求导得 πφ²(y)=6φ(y)φ^’(y) 解此方程得 φ(y)=[*] 由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为 [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

设f(x,y)与ψ(x,y)均为可微函数，且ψ’y(x,y)≠0，已知(x0，y0)是f(x,y)在约束条件ψ(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是________。

设函数y=y(x)满足△y=△x/(1+x2)+o(△x)，且y(0)=4，则y(x)=________·

设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．

曲线y=f(x)=(2x2-3x+2)/(x2+1)arctanx的水平渐近线为________．

求下列微分方程的通解。y’－xy’=a(y2+y’)

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(,0).求L位于第一象限部分的一条切线，使得该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小。

设y=y(x)是区间[－π,π]内过的光滑曲线，当－π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x≤π时，函数y(x)满足y"+y+x=0，求y(x)的表达式。

求微分方程y"+a2y=sinx的通解，其中常数a＞0.

设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．(Ⅰ)写出f(x)在[-2，0]上的表达式；(Ⅱ)问k为何值时，f(x)在x=0处可导．

刺五加的功效是（　　）。

屋面卷材防水施工中，关于找平层的排水坡度应符合设计要求的表述，错误的是()

在Word2003中，对段落标记的描述，正确的是()。

银雀山汉简

极限()．

Writeanessayof160～200wordsbasedonthefollowingdrawing.Inyouressay,youshould1)describethedrawingbriefly,2)in

在SELECT命令中使用ORDERBY为了指定的是

Readthefollowingtextanddecidewhichanswerbestfitseachspace.Forquestions26~45,markoneletterA,B,CorDony

Inatelephonesurveyofmorethan2,000adults,21%saidtheybelievedthesunrevolvedaroundtheearth.An【C1】______7%did

考研数学二

设f(x,y)与ψ(x,y)均为可微函数，且ψ’y(x,y)≠0，已知(x0，y0)是f(x,y)在约束条件ψ(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是________。

设函数y=y(x)满足△y=△x/(1+x2)+o(△x)，且y(0)=4，则y(x)=________·

设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．

曲线y=f(x)=(2x2-3x+2)/(x2+1)arctanx的水平渐近线为________．

求下列微分方程的通解。y’－xy’=a(y2+y’)

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(,0).求L位于第一象限部分的一条切线，使得该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小。

设y=y(x)是区间[－π,π]内过的光滑曲线，当－π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x≤π时，函数y(x)满足y"+y+x=0，求y(x)的表达式。

求微分方程y"+a2y=sinx的通解，其中常数a＞0.

设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．(Ⅰ)写出f(x)在[-2，0]上的表达式；(Ⅱ)问k为何值时，f(x)在x=0处可导．

刺五加的功效是（ ）。

屋面卷材防水施工中，关于找平层的排水坡度应符合设计要求的表述，错误的是()

在Word2003中，对段落标记的描述，正确的是()。

银雀山汉简

极限()．

Writeanessayof160～200wordsbasedonthefollowingdrawing.Inyouressay,youshould1)describethedrawingbriefly,2)in

在SELECT命令中使用ORDERBY为了指定的是

Readthefollowingtextanddecidewhichanswerbestfitseachspace.Forquestions26~45,markoneletterA,B,CorDony

Inatelephonesurveyofmorethan2,000adults,21%saidtheybelievedthesunrevolvedaroundtheearth.An【C1】______7%did

刺五加的功效是（　　）。