有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) (1)根

admin2017-04-24 67

问题有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm³／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)

(1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
(2)求曲线x=φ(y)的方程．

选项

答案(1)设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面面积为 πφ²(y)=4π+πt 从而 t=φ²(y)一4 (2)液面高度为y时，液体的体积为 π∫₀^yφ²(u) du=3t=3φ²(y)一12 上式两边对y求导得 πφ²(y)=6φ(y)φ^’(y) 解此方程得 φ(y)=[*] 由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为 [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

设a＞0，讨论方程aex=x2根的个数．

设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．

就k的不同取值情况，确定方程x3-3x+k=0根的个数．

设函数y=y(x)由2xy=x+y确定，求dy｜x=0．

曲线y=(2x5-4x4+1)/(x4+1)的斜渐近线为________．

证明方程ex=-x2+ax+b不可能有三个不同的根．

设y=y(x)是区间[－π,π]内过的光滑曲线，当－π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x≤π时，函数y(x)满足y"+y+x=0，求y(x)的表达式。

设级数的和函数为S(x),求：S(x)的表达式。

设D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数．计算二重积分

RatesareLow,butConsumerswon’tBorrowWithheavydebt,loadsandhighjoblessness,Americansarecautious.[A]TheU

以下属于物流系统中装卸要素目标之间的冲突的是()

症见当汗出而不汗出，身体、肢体疼重，属于

休克的根本病因是

财政所分配的是()国民收入，主要源于剩余产品价值。

支付担保的形式有(　　)。

目前，我国期货交易所没有止损指令。(　　)

关于全部投资现金流量表，下列说法正确的有()。

是否承认人民群众是历史的创造者，是衡量唯物与唯心主义历史观的根本分歧。()

Inthefirsthalfofthe20thcentury,thefastesturbangrowthwasinWesterncities.NewYork,LondonandotherFirstWorldca

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设a＞0，讨论方程aex=x2根的个数．

设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．

就k的不同取值情况，确定方程x3-3x+k=0根的个数．

设函数y=y(x)由2xy=x+y确定，求dy｜x=0．

曲线y=(2x5-4x4+1)/(x4+1)的斜渐近线为________．

证明方程ex=-x2+ax+b不可能有三个不同的根．

设y=y(x)是区间[－π,π]内过的光滑曲线，当－π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x≤π时，函数y(x)满足y"+y+x=0，求y(x)的表达式。

设级数的和函数为S(x),求：S(x)的表达式。

设D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数．计算二重积分

RatesareLow,butConsumerswon’tBorrowWithheavydebt,loadsandhighjoblessness,Americansarecautious.[A]TheU

以下属于物流系统中装卸要素目标之间的冲突的是()

症见当汗出而不汗出，身体、肢体疼重，属于

休克的根本病因是

财政所分配的是()国民收入，主要源于剩余产品价值。

支付担保的形式有( )。

目前，我国期货交易所没有止损指令。( )

关于全部投资现金流量表，下列说法正确的有()。

是否承认人民群众是历史的创造者，是衡量唯物与唯心主义历史观的根本分歧。()

Inthefirsthalfofthe20thcentury,thefastesturbangrowthwasinWesterncities.NewYork,LondonandotherFirstWorldca

支付担保的形式有(　　)。

目前，我国期货交易所没有止损指令。(　　)