有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) (1)根

admin2017-04-24 59

问题有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm³／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)

(1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
(2)求曲线x=φ(y)的方程．

选项

答案(1)设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面面积为 πφ²(y)=4π+πt 从而 t=φ²(y)一4 (2)液面高度为y时，液体的体积为 π∫₀^yφ²(u) du=3t=3φ²(y)一12 上式两边对y求导得 πφ²(y)=6φ(y)φ^’(y) 解此方程得 φ(y)=[*] 由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为 [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

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