有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) (1)根

admin2017-04-24 78

问题有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm³／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)

(1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
(2)求曲线x=φ(y)的方程．

选项

答案(1)设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面面积为 πφ²(y)=4π+πt 从而 t=φ²(y)一4 (2)液面高度为y时，液体的体积为 π∫₀^yφ²(u) du=3t=3φ²(y)一12 上式两边对y求导得 πφ²(y)=6φ(y)φ^’(y) 解此方程得 φ(y)=[*] 由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为 [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

设函数z=z(x,y)由方程z=e2x－3z+2y确定，则=________。

设函数f(u)可微，且f’(0)=,则z=f(4x2－y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)=________。

设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点(-1，1)处相切，则a=，b=．

A、x=0是f(x)的极大值点B、x=0是f(x)的极小值点C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点C

求微分方程xdy+(x－2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。

求下列微分方程的通解。y’－xy’=a(y2+y’)

求微分方程的通解。

已知函数f(x)满足方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0及f"(x)＋f(x)＝2ex．(1)求f(x)的表达式；(2)求曲线y＝f(x2)∫0xf(－t2)dt的拐点．

在细菌特殊结构中，具有抗吞噬作用的是

设直线的方程为，则直线()。

关于票据保证，下列说法符合《票据法》规定的有()。

社会法治建设偏重于()。

农民王某于2012年1月1日将其在本村价值20万元的楼房出租，当年共取得租金收入3000元。按照房产税从租计征的规定计算，王某当年应缴纳房产税360元。()

当前我国公务员职级工资制包括的基本形式有()。

依据我国社会主义初级阶段生产力落后的实际情况，我们必须()。

下列情况中，哪一种属于法律关系?（）

国际收支平衡表是在一定时期内，一国居民对其他国家的居民所进行的全部经济贸易的系统记录。国际收支平衡表最基本的项目是（）。

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设函数z=z(x,y)由方程z=e2x－3z+2y确定，则=________。

设函数f(u)可微，且f’(0)=,则z=f(4x2－y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)=________。

设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点(-1，1)处相切，则a=________，b=________．

A、x=0是f(x)的极大值点B、x=0是f(x)的极小值点C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点C

求微分方程xdy+(x－2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。

求下列微分方程的通解。y’－xy’=a(y2+y’)

求微分方程的通解。

已知函数f(x)满足方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0及f"(x)＋f(x)＝2ex．(1)求f(x)的表达式；(2)求曲线y＝f(x2)∫0xf(－t2)dt的拐点．

在细菌特殊结构中，具有抗吞噬作用的是

设直线的方程为，则直线()。

关于票据保证，下列说法符合《票据法》规定的有()。

社会法治建设偏重于()。

农民王某于2012年1月1日将其在本村价值20万元的楼房出租，当年共取得租金收入3000元。按照房产税从租计征的规定计算，王某当年应缴纳房产税360元。()

当前我国公务员职级工资制包括的基本形式有()。

依据我国社会主义初级阶段生产力落后的实际情况，我们必须()。

下列情况中，哪一种属于法律关系?（）

国际收支平衡表是在一定时期内，一国居民对其他国家的居民所进行的全部经济贸易的系统记录。国际收支平衡表最基本的项目是（）。

设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点(-1，1)处相切，则a=，b=．