设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn；

admin2022-10-09 74

问题设f_n(x)=x+x²+…+xⁿ(n≥2)．证明：方程f_n(x)=1有唯一的正根x_n；

选项

答案令φ_n(x)=f_n(x)-1，因为φ_n(0)=-1＜0，φ_n(1)=n-1＞0，所以φ_n(x)在(0，1)∈(0，+∞)内有一个零点，即方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有一个根，因为φ’_n(x)=1+2x+…+nx^n-1＞0，所以φ_n(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φ_n(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为x_n．

解析

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考研数学三

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求
设函数f(x)处处可导，且又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．
设函数f(x)满足等式且f(0)=2，则f(π)等于()
设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是()
设函数y=y(x)满足微分方程y"-3y′+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2－x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．
已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是微分方程(x2－2x)y"－(x2－2)y′+(2x－2)y=6x－6的解，求此方程的通解．
如果F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数，且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，求f(x)．
已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；
设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=k(1，－2，3)T+(1，2，－1)T，k为任意常数．令矩阵B=(α1，α2，α3，b+α3)，证明方程组Bx=α1－α2有无
根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。

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