设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn；

admin2022-10-09 68

问题设f_n(x)=x+x²+…+xⁿ(n≥2)．证明：方程f_n(x)=1有唯一的正根x_n；

选项

答案令φ_n(x)=f_n(x)-1，因为φ_n(0)=-1＜0，φ_n(1)=n-1＞0，所以φ_n(x)在(0，1)∈(0，+∞)内有一个零点，即方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有一个根，因为φ’_n(x)=1+2x+…+nx^n-1＞0，所以φ_n(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φ_n(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为x_n．

解析

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考研数学三

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设函数则曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积为___________．
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如果F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数，且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，求f(x)．
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
(1)证明当|x|充分小时，不等式0≤tan2x－x2≤x4成立；(2)设求
设，其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1，g’(0)=-1；(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)讨论f’(x)在(-∞，+∞)上的连续性．
设F(X)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且=2，f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=9．
根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。

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______thefog,weshouldhavereachedourdestination.
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