设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从指数分布，概率密度为其中λ＞0未知．现从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效，试求λ的最大似然估计．

admin2017-05-10 62

问题设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从指数分布，概率密度为

其中λ＞0未知．现从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间T₀结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效，试求λ的最大似然估计．

选项

答案考虑事件A：“试验直至时间T₀为止，有k只器件失效，而有n一k只未失效”的概率．记T的分布函数为F(t)，即有 [*] 一只器件在t=0时投入试验，则在时间T₀以前失效的概率为P{T≤T₀}=F(T₀)=1一e^-λT0；而在时间T₀未失效的概率为P{T＞T₀}=1—F(T₀)=e^-λT0．由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件A的概率为 L(λ)=C_n(1一e^-λT0)^k(e^-λT0)^n-k，这就是所求的似然函数．取对数得 lnL(λ)=lnC_n^k+kln(1一e^-λT0)+(n一k)(一λT₀)， [*] 于是A的最大似然估计为[*]

解析

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考研数学三

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设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从指数分布，概率密度为其中λ＞0未知．现从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效，试求λ的最大似然估计．

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