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设f(x)在(一∞,+∞)上有界,且存在二阶导数.试证明:至少存在一点ξ∈(一∞,+∞)使f’’(ξ)=0.
设f(x)在(一∞,+∞)上有界,且存在二阶导数.试证明:至少存在一点ξ∈(一∞,+∞)使f’’(ξ)=0.
admin
2014-04-16
66
问题
设f(x)在(一∞,+∞)上有界,且存在二阶导数.试证明:至少存在一点ξ∈(一∞,+∞)使f
’’
(ξ)=0.
选项
答案
用反证法,设对一切xE(一∞,+∞),f
’’
(x)≠0,则要么对一切xE(一∞,+∞),f
’’
(x)>0,或者对一切x∈(一∞,+∞),f
’’
(x)<0.不妨设对一切x∈(一∞,+∞),f
’’
(x)>0.有以下两种解法:法一取x
1
使f
’
(x
1
)≠0.这种x
1
总存在的,因若不存在,则f
’
(x)≡0,从而与反证法的前提矛盾,取好x
1
之后,将f(x)在x=x
1
处按泰勒公式展开至n=1,有[*]若f
’
(x
1
)>0,令上式中的x→+∞;若f
’
(x
1
)<0,令上式中的x→一∞,总有[*],与f(x)在(一∞,+∞)上有界矛盾.此矛盾证明了反证法的前提有错,故知存在ξ∈(一∞,+∞)使f
’’
(ξ)=0.法二由对一切x∈(一∞,+∞),f
’’
(x)>0,故知对一切x,f
’
(x)严格单调增加.取x
1
使f
’
(x
1
)>0(若不然,取x
1
使f
’
(x
1
)<0),由拉格朗日中值定理,当x>x
1
时,有f(x)=f(z1)+f
’
(η)(x-x
1
)>f(x
1
)+f
’
(x
1
)(x-x
1
),令x→∞,得f(x)→∞,与f(x)有界矛盾.若f
’
(x
1
)<0,则当x<x
1
时,有f(x)=f(x
1
)+f
’
(η)(x-x
1
)>f(x
1
)+f
’
(x
1
)(x-x
1
),令x→一∞,得f(x)→+∞,与f(x)有界矛盾.此矛盾证明了反证法的前提有错,故知存在ξ∈(一∞,+∞),使f
’’
(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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