2. 考研
  3. 已知n(n≥4)维向量组(I)α1，α2线性无关，(Ⅱ)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．

已知n(n≥4)维向量组(I)α1，α2线性无关，(Ⅱ)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．

admin2017-10-19  49
问题 已知n(n≥4)维向量组(I)α1，α2线性无关，(Ⅱ)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．
选项
答案考察 k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0． 两边分别对α1，α2作内积，由于(α1，β1)=0，(α1，β2)=0，(α2，β1)=0，(α2，β2)=0， 故得齐次方程组 [*] =(α1，α1)(α2，α2)一(α1，α2)2， 根据柯西一施瓦兹不等式，当α1，α2线性无关时，有(α1，α2)2＜(α1，α1)(α2，α2)，故方程组的系数行列式大于零(不等于零)，方程组有唯一零解k1=k2=0，代入原式得 λ1β1+λ2β2=0． 由β1，β2线性无关，故λ1=λ2=0，从而k1=k2=λ1=λ2=0，故α1，α2，β1，β2线性无关． 51．解 因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，故λ=5必有两个线性无关的特征向量，因此r(5E—A)=1．由 5E—A=[*] 得a=0，b=一1．又因 5+5+λ3=1+3+5， 知矩阵A的特征值是λ1=λ2=5，λ3=一1． 又｜A｜=λ1．λ2．λ3=一25，伴随矩阵A*的特征值为[*](i=1，2，3)，即一5，一5，
解析
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考研数学三

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