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已知n(n≥4)维向量组(I)α1，α2线性无关，(Ⅱ)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．
已知n(n≥4)维向量组(I)α1，α2线性无关，(Ⅱ)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．
admin
2017-10-19
28
问题
已知n(n≥4)维向量组(I)α
1
，α
2
线性无关，(Ⅱ)β
1
，β
2
线性无关，且α
1
，α
2
分别与β
1
，β
2
正交，证明：α
1
，α
2
，β
1
，β
2
线性无关．
选项
答案
考察 k
1
α
1
+k
2
α
2
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0． 两边分别对α
1
，α
2
作内积，由于(α
1
，β
1
)=0，(α
1
，β
2
)=0，(α
2
，β
1
)=0，(α
2
，β
2
)=0， 故得齐次方程组 [*] =(α
1
，α
1
)(α
2
，α
2
)一(α
1
，α
2
)
2
， 根据柯西一施瓦兹不等式，当α
1
，α
2
线性无关时，有(α
1
，α
2
)
2
＜(α
1
，α
1
)(α
2
，α
2
)，故方程组的系数行列式大于零(不等于零)，方程组有唯一零解k
1
=k
2
=0，代入原式得 λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0． 由β
1
，β
2
线性无关，故λ
1
=λ
2
=0，从而k
1
=k
2
=λ
1
=λ
2
=0，故α
1
，α
2
，β
1
，β
2
线性无关． 51．解 因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，故λ=5必有两个线性无关的特征向量，因此r(5E—A)=1．由 5E—A=[*] 得a=0，b=一1．又因 5+5+λ
3
=1+3+5， 知矩阵A的特征值是λ
1
=λ
2
=5，λ
3
=一1． 又｜A｜=λ
1
．λ
2
．λ
3
=一25，伴随矩阵A
*
的特征值为[*](i=1，2，3)，即一5，一5，
解析
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0
考研数学三
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