设A为反对称矩阵，则 (1)若k是A的特征值，－k一定也是A的特征值． (2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0． (3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

admin2019-02-23 21

问题设A为反对称矩阵，则
(1)若k是A的特征值，－k一定也是A的特征值．
(2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则η^Tη=0．
(3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

选项

答案(1)若k是A的特征值，则k也是A^T的特征值．而A^T=－A，于是－k是A的特征值． (2)设η的特征值为A，则Aη=λη． λη^Tη=η^TAη=(A^Tη)^Tη=(－Aη)^Tη=－λη^Tη． λ不为0，则η^Tη=0． (3)A为实反对称矩阵，则由上例知道，－A²=A^TA的特征值都是非负实数，从而A²的特征值都是非正实数．设A是A的特征值，则λ²是A²的特征值，因此λ²≤0，于是A为0，或为纯虚数．

解析

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考研数学二

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设A为反对称矩阵，则 (1)若k是A的特征值，－k一定也是A的特征值． (2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0． (3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

考研数学二

设3阶矩阵A有3个特征向量η1＝(1，1，1)T，η2＝(1，2，4)T，η3＝(1，3，9)T，它们的特征值依次为1，2，3．又设α＝(1，1，3)T，求Anα．

已知α＝是可逆矩阵A＝的伴随矩阵A*的特征向量，特征值λ．求a，b，λ．

已知A～B，A2＝A，证明B2＝B．

设矩阵A＝可逆，向量α＝是矩阵A的特征向量，其中A是A的伴随矩阵，求a，b的值．

设A是秩为2的3阶实对称矩阵，且λ2＋5A＝0，则A的特征值是_______．

设n维向量组α1，α2，…，αs线性相关，并且α1≠0，证明存在1＜k≤s，使得αk可用α1，…，αk-1线性表示．

设0＜χ＜，证明．

设有方程组(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a，b，c两两不等．(2)在此情况求解．

证明奇次方程＝0一定有实根，其中常数a1≠0．

设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，存在极限f(χ)＝A及f(χ)＝B．证明：(Ⅰ)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，＋∞)，使得f(ξ)＝μ；(Ⅱ)f(χ)在(－∞，＋∞)有界．

左图为给定的多面体，从任一角度观看，下面哪一项不可能是该多面体的视图?

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下列施工质量控制中，属于事前控制的是()。

利率互换是两个交易对手相互交换一组资金流量，()。

发生学生伤害事故时，学校与受伤害学生或者家长可以采取的处理方式有()

民警杨某准备利用周末时间在辖区的宏基俱乐部搞一个禁毒的普法宣传，精心准备了很多宣传材料。其宣传内容中不正确的是()。

发明专利的有效期限的起算点为()。

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