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  3. 证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正定矩阵．

证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正定矩阵．

admin2018-11-20  39
问题 证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正定矩阵．
选项
答案设A是A的一个特征值，η是属于它的一个特征向量，即有ATAη=λη，于是ηTATAη=ληTη，即(Aη，Aη)=λ(η，η)．则 λ=(Aη，Aη)／(η，η)≥0． 如果A秩为n，则AX=0没有非零解，从而Aη≠0，(Aη，Aη)＞0，因此 λ=(Aη，Aη)／(η，η)＞0．
解析
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考研数学三

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