证明n阶矩阵相似．

admin2017-04-24 69

问题证明n阶矩阵

相似．

选项

答案设矩阵 [*] 所以A与B有相同的特征值λ₁=n，λ_n=0(n一1重)．由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ₂E一B)=r(B)=1．所以B的对应于特征值λ₂一0有n一1个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A．再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似．设存在可逆矩阵P，使得P^一1AP=B，或AP=PB，设P按列分块为P=[p₁，p₂，p_n]，则 AP=PB[*]A[p₁，p₂，…，p_n] = [p₁，p₂，…，p_n][*] [*]Ap₁=0，…，Ap_n一1=0，…，Ap_n=p₁+2p₂+…+np_n．由解上面的方程组，可求出可逆矩阵 P=[p₁，p₂，…，p_n] =[*] 满足P^一1AP=B，所以A相似于B．

解析

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