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[2002年] 设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则( ).
[2002年] 设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则( ).
admin
2021-01-19
43
问题
[2002年] 设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则( ).
选项
A、当
f(x)=0时,必有
f′(x)=0
B、当
f′(x)存在时,必有
f′(x)=0
C、当
f(x)=0时,必有
f′(x)=0
D、当
f′(x)存在时,必有
f′(x)=0
答案
B
解析
用拉格朗日中值定理证明(B)正确,也可用排错法得到正确选项.
解一 利用命题1.2.4.1和反证法证明仅(B)入选.事实上,如
f′(x)=a≠0,当A>0时,由命题1.2.4.1(1)知,
f(x)=+∞与f(x)有界矛盾.当a<0时,由命题1.2.4.1(1)知,
f(x)=一∞与f(x)有界矛盾.综上所述,
f′(x)=a=0.
解二 仅(B)入选.用反证法证之.假设
f′(x)=a≠0,不妨设a>0,则必存在x
0
>0,
使当x>x
0
时,有f′(x)>a/2.在[x
0
,x]上使用拉格朗日中值定理,则存在ξ∈(x
0
,x),使得
f(x)=f(x
0
)+f′(ξ)(x—x
0
)>f(x
0
)+a(x一x
0
)/2.
当x→+∞时,有
f(x)=+∞,这与f(x)有界矛盾.
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考研数学二
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