求下列方程的通解: (Ⅰ)y’’3y’=2-6x; (Ⅱ)y’’+y=ccosxcos2x.

admin2019-06-28  33

问题 求下列方程的通解:
(Ⅰ)y’’3y’=2-6x;
(Ⅱ)y’’+y=ccosxcos2x.

选项

答案(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解,由于其特征方程为λ2-3λ=λ(λ-3)=0,所以通解为 [*]=C1+C2e3x. 再求非齐次方程的特解,由于其自由项为一次多项式,而且0是特征方程的单根,所以特解应具有形式y*(x)=x(Ax+B),代入原方程,得 [y*(x)]’’-3[y*(x)]’=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x. 比较方程两端的系数,得[*]解得A=1,B=0,即特解为y*(x)=x2.从而,原方程的通解为y(x)=x2+C1+C2e3x,其中C1,C2为任意常数. (Ⅱ)由于cosxcos2x=[*](cosx+cos3x),根据线性微分方程的叠加原理,可以分别求出y’’+y=[*]cosx与y’’+y=[*]cos3x的特解y1*(x)与y2*(x),相加就是原方程的特解. 由于相应齐次方程的特征方程为λ2+1=0,特征根为±i,所以其通解应为C1cosx+C2sinx;同时y’’+y=[*]cosx的特解应具形式:y1*(x)=Axcosx+Bxsinx,代入原方程,可求得A=0,B=[*].y1*(x)=[*]sinx. 另外,由于3i不是特征根,所以另一方程的特解应具形式y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x,代入原方程,可得C=[*],D=0.这样,即得所解方程的通解为y(x)=[*]cos3x+C1cosx+C2sinx,其中C1,C2为任意常数.

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