2. 考研
  3. 设L：y=f(x)为过点M(0，1)且位于第一象限的增函数，P(x0，y0)为曲线L上任一点，已知曲线位于M到P之间的弧长与[0，x0]上曲边梯形的面积相等． (Ⅰ)求曲线y=f(x)； (Ⅱ)证明：有且仅有一点c∈(0，1)，使得[0，c]上以f(c)为

设L：y=f(x)为过点M(0，1)且位于第一象限的增函数，P(x0，y0)为曲线L上任一点，已知曲线位于M到P之间的弧长与[0，x0]上曲边梯形的面积相等． (Ⅰ)求曲线y=f(x)； (Ⅱ)证明：有且仅有一点c∈(0，1)，使得[0，c]上以f(c)为

admin2022-12-09  3
问题 设L：y=f(x)为过点M(0，1)且位于第一象限的增函数，P(x0，y0)为曲线L上任一点，已知曲线位于M到P之间的弧长与[0，x0]上曲边梯形的面积相等．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)；
(Ⅱ)证明：有且仅有一点c∈(0，1)，使得[0，c]上以f(c)为高的矩形的面积与[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积相等．
选项
答案[*] (Ⅱ)令S1(c)=cf(c)，S2(c)=∫c1f(t)dt，φ(x)=S1(x)=S2(x)=xf(x)-∫x1f(t)dt， 再令F(x)=x∫1xf(t)dt，显然F′(x)=φ(x)， 因为F(0)=F(1)=0，所以存在c∈(0，1)，使得F′(c)=0，或φ(c)=0， 即存在点c∈(0，1)，使得[0，c]上以f(c)为高的矩形的面积与[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积相等． 因为φ′(x)=2f(x)+xf′(x)=ex+e-x+x/2(ex-e-x)＞0(0＜x＜1)， 所以φ(x)在[0，1]上单调递增，故c∈(0，1)是唯一的．
解析
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考研数学三

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