设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使Am=0，证明：A必不相似于对角矩阵．

admin2017-04-23 79

问题设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使A^m=0，证明：A必不相似于对角矩阵．

选项

答案可用反证法：设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有Ax=λx，[*]A²x=λAx=λ²x，…，[*]A^mx=λ^mx，因A^m=0，x≠0，得λ=0，故A的特征值都是零，因此，若A可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使P^一1AP=diag(0，0，…，0)=0，则A=POP^一1=0，这与A≠0矛盾．

解析

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考研数学二

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